Teorema fundamental del cálculo
Para los griegos, los números eran cocientes de enteros, por lo que la recta numérica tenía “agujeros”. Esta dificultad la solventaron utilizando longitudes, áreas y volúmenes además de los números, ya que para los griegos no todas las longitudes eran números.
Si un cuerpo se mueve de A a B, antes de llegar a B pasa por el punto medio, digamos B1B_{1}B1 de AB. Ahora bien, para llegar a B1B_{1}B1 debe alcanzar primero el punto medio B2B_{2}B2 de AB1AB_{1}AB1 . Continúe este argumento para ver que A debe moverse a través de un número infinito de distancias y por lo tanto no puede moverse.
Leucipo, Demócrito y Antifón contribuyeron al método griego de agotamiento que fue puesto en una base científica por Eudoxus alrededor de 370 AC. El método de agotamiento se denomina así porque se piensa que las superficies medidas se expanden de manera que cada vez representan más superficie.
Sin embargo, Arquímedes, hacia el 225 a.C., realizó una de las aportaciones más significativas de los griegos. Su primer avance importante fue demostrar que el área de un segmento de una parábola es 43\large\frac{4}{3}\normalsize34 el área de un triángulo con la misma base y vértice y 23\large\frac{2}\normalsize32 del área del paralelogramo circunscrito. Arquímedes construyó una secuencia infinita de triángulos empezando por uno de área AAA y añadiendo continuamente otros triángulos entre los existentes y la parábola para obtener áreas
Qué es el cálculo
El cálculo, originalmente llamado cálculo infinitesimal, es una disciplina matemática centrada en los límites, la continuidad, las derivadas, las integrales y las series infinitas. Muchos elementos del cálculo aparecieron en la antigua Grecia, luego en China y Oriente Medio, y más tarde en la Europa medieval y en la India. El cálculo infinitesimal fue desarrollado a finales del siglo XVII por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz de forma independiente. Una discusión sobre la prioridad dio lugar a la controversia sobre el cálculo Leibniz-Newton, que se prolongó hasta la muerte de Leibniz en 1716. El desarrollo del cálculo y sus usos dentro de las ciencias han continuado hasta nuestros días.
En la enseñanza de las matemáticas, el cálculo designa los cursos de análisis matemático elemental, dedicados principalmente al estudio de las funciones y los límites. La palabra cálculo significa en latín “guijarro” (diminutivo de calx, que significa “piedra”), un significado que aún persiste en medicina. Debido a que estos guijarros se utilizaban para contar distancias,[1] contar votos y hacer aritmética con ábaco, la palabra pasó a significar un método de cálculo. En este sentido, se utilizó en inglés al menos desde 1672, varios años antes de las publicaciones de Leibniz y Newton[2].
Leibniz vs newton
“Sólo la geometría puede entregarnos el hilo [que nos conducirá a través] del laberinto de la composición del continuo, lo máximo y lo mínimo, lo infinitesimal y lo infinito; y nadie llegará a una metafísica verdaderamente sólida sino quien haya pasado por este [laberinto]”.
Determinar el área de objetos curvos o incluso el volumen de un cuerpo físico con superficies curvas es un problema fundamental que ha ocupado a generaciones de matemáticos desde la antigüedad. Por aproximación, no se necesita el cálculo integral moderno para resolver este problema. Incluso los antiguos griegos habían desarrollado un método para determinar integrales mediante el método de agotamiento, que también es la primera técnica sistemática documentada capaz de calcular áreas y volúmenes. El método de agotamiento fue descrito por el antiguo astrónomo griego Eudoxus (hacia el 370 a.C.), que intentó determinar áreas y volúmenes dividiéndolos en un número infinito de formas de las que se conocía el área o el volumen. Este método fue desarrollado y empleado por Arquímedes en el siglo III a.C. y se utilizó para calcular las áreas de las parábolas y una aproximación al área de un círculo. Pero también en el lejano oriente, los chinos desarrollaron independientemente métodos similares alrededor del siglo III d.C. por Liu Hui, quien lo utilizó para encontrar el área del círculo. Más tarde, en el siglo V, el método de Liu Hui fue desarrollado por los matemáticos chinos de padre e hijo Zu Chongzhi y Zu Geng para hallar el volumen de una esfera.
Integrales
“Sólo la geometría puede entregarnos el hilo [que nos conducirá a través] del laberinto de la composición del continuo, el máximo y el mínimo, el infinitesimal y el infinito; y nadie llegará a una metafísica verdaderamente sólida sino quien haya pasado por este [laberinto]”.
Determinar el área de objetos curvos o incluso el volumen de un cuerpo físico con superficies curvas es un problema fundamental que ha ocupado a generaciones de matemáticos desde la antigüedad. Por aproximación, no se necesita el cálculo integral moderno para resolver este problema. Incluso los antiguos griegos habían desarrollado un método para determinar integrales mediante el método de agotamiento, que también es la primera técnica sistemática documentada capaz de calcular áreas y volúmenes. El método de agotamiento fue descrito por el antiguo astrónomo griego Eudoxo (hacia el año 370 a.C.), que intentó determinar áreas y volúmenes dividiéndolos en un número infinito de formas de las que se conocía el área o el volumen. Este método fue desarrollado y empleado por Arquímedes en el siglo III a.C. y se utilizó para calcular las áreas de las parábolas y una aproximación al área de un círculo. Pero también en el lejano oriente, los chinos desarrollaron independientemente métodos similares alrededor del siglo III d.C. por Liu Hui, quien lo utilizó para encontrar el área del círculo. Más tarde, en el siglo V, el método de Liu Hui fue desarrollado por los matemáticos chinos de padre e hijo Zu Chongzhi y Zu Geng para hallar el volumen de una esfera.